Найдите все значения параметра a, при котором корни уравнения (x-6a) ^2 + (x-2a) ^2=128 симметричны относительно точки x=12

Пусть х₁=12+k, x₂=12-k

Подставим корни в уравнение и решим систему.

Первое уравнение системы

(12+k-6a) ² + (12+k-2a) ²=128

Второе уравнение системы

(12-k-6a) ² + (12-k-2a) ²=128

Вычитаем из первого уравнения второе:

(12+k-6a) ² + (12+k-2a) ² - (12-k-6a) ² - (12-k-2a) ²=0

Группируем первое со третьим, второе с четвертым

и раскладываем на множители по формуле разности квадратов:

(12+k-6a-12+k+6a) (12+k-6a+12-k-6a) + (12+k-2a-12+k+2a) (12+k-2a+12-k-2a) = 0

2k (24-12a) + 2k (24-4a) = 0

2k· (24-12a+24-4a) = 0

2k (48-16a) = 0

k=0 или 48-16 а=0 ⇒ 16 а=48 ⇒а=3