5. Докажите, что если две стороны и биссектриса, проведённая из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам и биссектрисе, проведённой из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках АВС и А1 В1 С1 с биссектрисами АД и А1 Д1 выполнены равенства: АВ/А1 В1=АС/А1 С1=АД/А1 Д1. Докажем, что треугольники АВС и А1 В1 С1 подобны. Рассмотрим треугольник А2 В2 С2 с биссектрисой А2 Д2, у которого ∠А2=∠А, ∠В2=В, А2 С2=А1 С1. Треугольники А2 В2 С2 и АВС подобны по двум углам, поэтому АВ/А2 В2=АС/А1 С1=АД/А2 Д2 (поскольку А2 С2=А1 С1). Сопоставляя эти равенства с предыдущими, получим А1 В1=А2 В2, А1 Д1=А2 Д2. Т. к. кроме того и А1 С1=А2 С2, то треугольники А1 В1 С1 и А2 В2 С2 равны по двум сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины. Но треугольник А2 В2 С2 подобен АВС, тогда и треугольник А1 В1 С1 подобен АВС, что и требовалось доказать.