В каждой клетке квадрата 2011 х2011 записали некоторое число. Оказалось, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что найдется столбец в котором произведение чисел также отрицательно.

произведение может быть отрицательным, быть равным 0, или быть положительным,

поскольку произведение в каждой строке отрицательное, то среди чисел в таблице нет 0.

Далее произведение всех чисел в таблице это произведение чисел, которые равны произведению чисел в каждой строке, т. е. произведение 2011 отрицательных чисел, а значит отрицательное (так как число множителей нечетное число).

Если нет ни одного столбца произведение чисел в котором было бы отрицательным, то произведение чисел в каждом столбце было бы положительным (так 0 быть не может, нет 0 среди чисел в таблице).

И тогда произведение всех чисел таблицы как произведение чисел, которые равны произведению чисел в каждом столбце было бы положительным (как произведение положительных чисел). Что невозможно (так как произведение всех чисел число отрицательное).

Поэтому найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно. Доказано