1) Точка N - середина медианы AD треугольника ABC. BN пересекает AC в точке F. Найдите AF, если AC = 18 см.

2) Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равен 36 см. Найдите расстояние от середины катета к гипотенузе.

1. 1) Прямая FВ пересекает две стороны (AC в точке F, AD в точке N) и продолжение третьей стороны (CD в точке B) Δ АDС. По теореме Менелая : AF/FC ·CB/BD ·DN/NA = 1.

2) ВD половина ВС, значит CB / BD = 2/1,

DN = NA, значит DN/NA = 1/1.

Пусть FC=AC - AF=18-AF, тогда

AF / (18-AF) · 2/1· 1/1=1

AF / (18-AF) = 1/2

18-AF=2 AF

3AF=18

AF = 6 см

Ответ: 6 см

2. Δ ABC - прямоугольный равнобедренный, АВ = АС, ВС=36 см (гипотенуза). AN=NC. Найти NK.

1) AC²+BC²=36² (по теореме Пифагора)

2 АС²=1296

АС²=648

АС = 18√2 см = AB, значит NC = 9√2 см

2) Δ АВС подобен Δ NKC: (по первому признаку) ∠К = ∠А,

∠ С - общий. Тогда:

NC/BC = NK/AB

9√2/36 = NK / 18√2

NK = (9√2·18√2) / 36=324/36=9 см

Ответ: 9 см