Три вектора отложены из одной точки. а = (4, 3,-1) b = (3, 2,-5) c = (5, 5,1). Найти высоту пирамиды, опущенную из конца вектора а.

Находим объём пирамиды.

|X1 Y1 Z1| |4 3 - 1|

V = (1/6) * |X2 Y2 Z2| = (1/6) * |3 2 - 5|

|X3 Y3 Z3| |5 5 1| = (1/6) * 4*2*1 + 3 * (-5) * 5 + (-1) * 3*5 -

(-1) * 2*5 - 4 * (-5) * 5 - 3*3*1 = (1/6) * 19 = 19/6.

Находим площадь треугольника АВС, лежащего против конца вектора "а". Формула векторного произведения:

Произведение векторов а * b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}. S (ABC) = (1/2) * b*c =

i j k

bx by bz

cx cy cz

=

i j k

3 2 - 5

5 5 1

= i (2·1 - (-5) ·5) - j (3·1 - (-5) ·5) + k (3·5 - 2·5) =

= i (2 + 25) - j (3 + 25) + k (15 - 10) = {27; - 28; 5}.

Площадь равна (1/2) √ (27² + (-28) ² + 5²) = (1/2) √1538 ≈ 19,60867.

Теперь находим искомое расстояние от конца вектора а до плоскости АВС как высоту пирамиды.

Н = 3V/S (ABC) = 3 * (19/6) / (√1538/2) = 19/√1538 ≈ 0,48448.