Дана окружность, в ней точка N произвольна, провести внутри хорду АВ, чтобы она делилась точкой N 3/4

Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке О и внутри её точка N.

Вычертим отдельно условный равнобедренный треугольник ОАВ и на стороне АВ точка N. ОА и ОВ - это радиусы.

Проведём отрезок ОN, равный расстоянию d от центра до точки N.

Из центра опустим перпендикуляр Оh на сторону АВ.

По условию задания А N:В N = 3:4. Примем коэффициент пропорциональности за х.

Тогда А N = 3 х, а В N = 4 х. Перпендикуляр Оh делит АВ пополам.

Составляем уравнения из треугольников ONA и Оh N.

Оh² = R² - (3.5x) ² = R²-12,25x².

Oh² = d² - (0,5x) ² = d²-0,25x², отсюда вытекает R²-12,25x² = d²-0,25x².

Приведём подобные: 12x ² = R²-d².

Находим коэффициент х = √ ((R²-d²) / 12) = √ (R²-d²) / 2√3.

Можно определить длину отрезка АN = 3x = 3√ (R²-d²) / 2√3 = √ (3 (R²-d²)) / 2.

Теперь в треугольнике OAN известны 3 стороны, поэтому находим по теореме косинусов косинус угла AON, а по нему и сам угол.

Ответ: от отрезка ON откладываем найденный угол AON, проводим радиус ОА и через точки A и N проводим искомую хорду АВ.