В трапеции основания равны 12 и 24, а боковые ребра равны 10. В каждой из углов трапеции вписана окружность радиуса 1. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Исследуемый четырехугольник - трапеция, подобная данной. Площади подобных фигур относятся друг к другу как квадраты их линейных размеров.

Высота данной трапеции равна sqrt[ ((24 - 12) / 2) ^2 + 10^2] = 8.

Площадь данной трапеции равна (12 + 24) * 8/2 = 144.

Радиусы вписанных окружностей равны 1, в высоте их вмещается два. Следовательно, высота искомой трапеции равна 8 - 1 - 1 = 6. Высоты этих трапеций относятся как 6/8 = 3/4. Значит, площади трапеций будут относиться друг к другу как 9/16.

И площадь искомого четырехугольника будет равна 144*9/16 = 81.

Ответ: 81.