Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°.

Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.

Площадь правильного треугольника - а основание правильной пирамиды - правильный треугольник

S = (a²√3) : 4

Площадь боковой поверхности - это площадь трех граней пирамиды.

Каждая грань - равнобедренный треугольник с основанием а, равным стороне правильного треугольника в основании пирамиды, и высотой h=апофеме.

S=ah:2

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофему.

Угол АSC - прямой.

Треугольник ASC - прямоугольный равнобедренный.

Апофема грани пирамиды - высота и медиана этого треугольника.

Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

Высота SM равна половине АС и равна а: 2

Площадь треугольника АSС = (а*а: 2) : 2=а²:4

Площадь боковой поверхности равна 3 а²:4

Отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания

Sбок:S ᐃ АВС = (3 а²:4) : { (a²√3) : 4}=√3

Итак, площадь основания - это площадь равностороннего треугольника. По формуле

Sосн = √3*а²/4

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника - боковая грань пирамиды (катеты равны) = 1/2a*h, где h=1/2 а (так как в этом треугольнике высота = половине основания, поскольку углы при основании = 45°)

Sбок1 = (1/2 а) * (1/2 а) = а²/4. Таких поверхностей в пирамиде3. Значит Sбок = 3 а²/4

Отношение боковой поверхности к площади основания (3 а²/4) : (√3 а²/4) = 3/√3 = √3.