Площадь прямоугольного треугольника 24 см2, а разность длин его катетов равна 2 см, точка удаленная от плоскости треугольника на 12 см равноудалена от всех его вершин. Найдите расстояние от данной точки до вершин треугольника.

площадь прямоугольного треугольника = половине произведения его катетов (a и b) ...

ab/2 = 24 = > ab = 48

a-b = 2 = > a = 2+b

(2+b) b = 48

b^2 + 2b - 48 = 0

D = 4+4*48 = 4*49

b (1; 2) = (-2+-2*7) / 2 - - - отрицательный корень не имеет смысла ...

b = - 1+7 = 6

a = 8

т. к. точка равноудалена от вершин треугольника, т. е. все наклонные из точки к плоскости (к вершинам треугольника) равны, то равны и проекции этих наклонных, т. е. точка проецируется в центр описанной около треугольника окружности.

для прямоугольного треугольника известно, что центр описанной окружности лежит на его гипотенузе и радиус описанной окружности = половине гипотенузы ...

по т. Пифагора найдем гипотенузу

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36+64 = 100

c = 10

и еще раз по т. Пифагора

искомое расстояние = корень (12^2 + 5^2) = корень (144+25) = 13