Две окружности пересекаются в точках M и N, а прямая l пересекает окружности последовательно в точках P, Q, R, S. Найти величину угла PMS, если QNR=a.

Пусть эта прямая пересекает прямую MN в точке K.

Я привожу решение для случая, когда точка K находится между M и N.

∠PMN = ∠PRN;

∠PKN = ∠PRN + ∠RNM = ∠PMN + ∠RNM;

аналогично

∠SKN = ∠SMN + ∠QNM;

если сложить оба равенства, получится

∠PMS + ∠QNR = 180°;

Случай, когда точка К лежит не внутри отрезка MN, не сложнее.

Пусть K (для определённости) лежит "выше" точки M (если считать, что прямая MN расположена "вертикально", и точка M "выше" точки N). Пусть точка T расположена "еще выше" точки K.

Тогда

∠TKS = ∠TMS + ∠KSM = ∠TMS + ∠RNM; (если не понятно, почему ∠RMN = ∠KSM; то это вписанные в "левую" окружность углы, опирающиеся на дугу MR)

аналогично

∠TKP = ∠TMP + ∠KPM = ∠TMP + ∠QNM;

и остается сложить оба равенства, что дает тот же ответ.

∠PMS + ∠QNR = 180°;