Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Площади треугольников, прилегающих к основаниям, равны 6 и 54. Найдите площади треугольников, прилегающих к боковым сторонам.

Диагонали пересекаются в точке О.

Благодаря свойству трапеции ΔАОВ=ΔСОД, а тр-ки ВОС и АОД подобны. Их коэффициент подобия: k²=S/s=54/6=9 ⇒ k=3.

Пусть ВО=х, СО=у, тогда ДО=3 х, АО=3 у.

α - угол между диагоналями, его синус одинаковый для всех треугольников, образованных пересекающимися диагоналями.

Сумма тр-ков АОВ и СОД:

S1 = (х·3 у·sinα+3 х·у·sinα) / 2 = (6xy·sinα) / 2.

Сумма тр-ков ВОС и АОД:

S2 = (х·у·sinα+3x·3y·sinα) / 2 = (10xy·sinα) / 2.

S1/S2=6/10=3/5.

По условию S2=6+54=60, значит S1=3·S2/5=36.

ΔАОВ=ΔСОД=36/2=18 (ед²).