Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилегающим к ней углом и биссектрисой этого угла

1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. - Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1 В1 С 1 угол А равен углу А1, АВ равно А1 В 1, АС равно А1 С1, докажем, что треугольники равны.

Пусть А1 В2 С 2 - треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1 В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1 В1, где лежит вершина С1.

Так как А1 В1 равно А1 В2, то вершина В2 совпадет с В 1. Так как угол В1 А1 С 1 равен углу В2 А1 С 2, то луч А1 С2 совпадет с А1 С1. Так как А1 С1 равен А1 С2, то С2 совпадет с С 1. Значит треугольник А1 В1 С 1 совпадает стреугольниом А1 В2 С2, значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. - Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А1 В1 С1 - два треугольника, у которых АВ равно А1 В 1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Пусть А1 В2 С 2 - треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1 В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1 В1, где лежит вершина С1.

Так как А1 В2 равно А1 В1, то вершина В2 совпадет с В 1. Так как угол В1 А1 С 2 равен углу В1 А1 С 1, и угол А1 В1 С2 равен углу А1 В1 С1, то луч А1 С2 совпадет с А1 С1, а В1 С 2 совпадет с В1 С1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадет с С 1. Значит треугольник А1 В1 С 1 совпадает стреугольниом А1 В2 С2, значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам (Теорема 3.6. - Признак равенства треугольников по трем сторонам - Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А1 В1 С1 - два треугольника, у которых АВ равно А1 В 1, АС равно А1 С1, и ВС равно В1 С1. Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1, угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А1 В1 С 2 - треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1 В1.

Пусть D - середина отрезка С1 С2. Треугольники А1 С1 С 2 и В1 С1 С2 - равнобедренные с общим основанием С1 С2. Поэтому их медианы А1D и В1D - являются высотами, значит прямые А1D и В1D - перпендикулярны прямой С1 С 2. Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А 1, В1, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1 С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.