Докажите, что если каждая диагональ делит площадь четырехугольника пополам, что этот четырехугольник - параллелограмм.

Ну вот пусть там площади четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник, S1, S2, S3, S4, тогда

S1 + S2 = S3 + S4;

S1 + S4 = S3 + S2;

следовательно S2 - S4 = S4 - S2; то есть S2 = S4; само собой и S1 = S3;

Теперь, если отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагонали, как x, y - для одной диагонали z, w - для другой, то, x/y = S1/S2; и y/x = S3/S4 = S1/S2; так как у смежных треугольников есть общая высота к "основаниям", то есть к сторонам x и y, откуда стороны относятся, как площади.

Поэтому x = y; аналогично z = w;

Получилось, что диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам.

Я, конечно, могу продолжить доказывать, но тут можно и остановиться - дальше вам на уроках должны были объяснять. Вкратце - "вертикальные" треугольники не просто имеют равные площади, они вообще оказались равными, откуда следует параллельность сторон.