В прямоугольный треугольник с углом 60 (град) вписана окружность с радиусом 5 см. Найдите Площадь этого треугольника

Нужно провести радиусы вписанной окружности - -

они будут _|_ сторонам треугольника

в прямом углу треугольника радиусы "вырежут" квадрат со стороной 5 см

если оставшиеся части катетов обозначить х и у, т. е.

один катет = х+5

второй катет = у+5,

то гипотенуза треугольника окажется = х+у

((т. к. отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны ...)))

т. к. один острый угол треугольника - - 60 градусов, то второй угол = 30

катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы ...

2 (х+5) = х+у

х = у - 10

и теперь т. Пифагора ...

(у-10+у) ^2 = (y+5) ^2 + (y-10+5) ^2

4y^2 - 40y + 100 = y^2 + 10y + 25 + y^2 - 10y + 25

y^2 - 20y + 25 = 0

D = 20*20 - 4*25 = 300

(y) 1; 2 = (20 + - 10√3) / 2 = 10 + - 5√3

y1 = 10-5√3 - - - > x1 = - 5√3 - - т. е. катеты равны: 15-5√3 и 5-5√3

второе выражение 5-5√3 = 5 (1-√3) - - меньше нуля - - не рассатривается ...

y2 = 10+5√3 - - - > x2 = 5√3 - - т. е. катеты равны: 15+5√3 и 5+5√3

S = ab/2 = (15+5√3) * (5+5√3) / 2 = 5 (3+√3) * 5 * (1+√3) / 2 = 25 (3+4√3+3) / 2 =

= 25 (6+4√3) / 2 = 25 (3+2√3) = 75+50√3