Две окружности внутренне касаются друг друга в точке A и меньшая окружность касается хорды BC в точке D. Как доказать, что AD-биссектриса угла BAC?

Пускай O1 - центр большей окружности, а O2 - центр меньшей окружности, M - середина дуги BC, не содержащая точку A. Проведём отрезки O1 M, O2 D и MD.

△A O2 D и △A O1 M равнобедренные и подобные, следовательно точки A, D и M лежат на одной прямой. Другими словами, AD - биссектриса ∠BAC.