В каких из нижеперечисленых случаев совершается механическая работа: мальчик влезает на дерево, девочка играет на пианино, вода давит на стенку сосуда, вода падает с плотины

Главными характеристиками механической работы являются сила и перемещение.

Обе этих составляющих присутствуют только в примерах про мальчика, влезающего на дерево и про воду, падающую с плотины. (Насчет девочки и пианино, то несмотря на движение рук, центр масс девочки остается неподвижным и ее перемещение рано 0)