Самолет летит горизонтально на высоте 4 км над поверхностью Земли со сверхзвуковой скоростью. Звук дошел до наблюдателя через время 10 с после того как над ним пролетел самолет. Определить скорость самолета.

Допустим скорость звука 330 м с. Сверхзвуковой самолет образует ударную волну, с конусообразным фронтом (конус Маха). Угол φ между образующими конуса Маха и его осью определяется формулой: sin φ = u/v, где u = 330 м/с - скорость звука в среде, v - неизвестная скорость самолета. Наблюдатель начинает слышать звук, когда его достигает этот конус. Рассмотрим треугольник ABC, где А - точка наблюдателя, C - точка над ним на высоте |AC| = h = 4 км, B - положение самолета в момент t = 10 с (|BC| = v*t)

Поскольку BC - отрезок горизонтальной траектории самолета, то AC и BC перпендикулярны.

Это позволяет выразить угол φ (то же самое, что угол "B"), через отношение двух катетов:

tg φ = |AC| / |BC| = h / (v*t)

получили систему двух уравнений для двух неизвестных v и φ:

sin φ = u/v; ... (1)

tg φ = h / (v*t) ; ... (2)

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством: 〖tg〗^2 (φ) = (〖sin〗^2 (φ)) / (1-〖sin〗^2 (φ))

заменим тангенс и синус их значениями из (1) и (2) :

h^2 / (v^2 t^2) = (u^2/v^2) / ((1-u^2/v^2)) = u^2/〖v^2-u〗^2

что легко преобразующееся в линейное уравнение относительно v^2