Как вычислить емкость конденсатора при частичном заполнении расстояния между обкладками диэлектриком?

Новую ёмкость можно рассматривать как сумму емкостей двух параллельно соединённых конденсаторов С' и С'' с одинаковыми промежутками d и разными поперечными сечениями S' и S'', причём первый полностью залит диэлектриком с некоторой проницаемостью ε:

C₁ = C' + C'' = εε₀S'/d + ε₀S''/d

здесь S' - часть площади пластины конденсатора, заполненная диэлектриком, а S'' - часть площади, свободная от диэлектрика, само собой, S' + S'' = S

Тогда S'' = S - S'

C₁ = εε₀S'/d + ε₀S/d - ε₀S'/d = C + C' (ε - 1)

где С - емкость всего конденсатора без диэлектрика, а С' - емкость части конденсатора, которая оказалась заполнена диэлектриком.

Если взять в качестве коэффициента заполнения диэлектриком k = V'/V где V - геометрический объём конденсатора, а V' - объём диэлектрика с электрической проницаемостью ε, то окончательно можно прийти к общей формуле для емкости конденсатора, частично заполненном диэлектриком:

С ₁ = С (1 + k (ε - 1)).

Видно, что при k = 1 (конденсатор полностью заполнен диэлектриком)

С₁ = εС

При k = 0 (диэлектрик отсутствует)

C₁ = С

и при ε = 1 (диэлектрическая проницаемость диэлектрика пренебрежимо мала)

C₁ = С

то есть соотношение вполне работает.