3x (x-1) + 9>=8 / (x+1) - 5 / (x-2)

3x (x-1) + 9>=8 / (x+1) - 5 / (x-2)

Область определения: вся числовая прямая, кроме точек - 1 и 2 (на 0 делить нельзя)

3x (x-1) + 9-8 / (x+1) + 5 / (x-2) >=0

Приводим к общему знаменателю

3x (x-1) (x+1) (x-2) + 9 (x+1) (x-2) - 8 (x-2) + 5 (x+1) >=0

3x (x-1) (x+1) (x-2) + 9 (x²-2x+x-2) - 8x+16+5x+5>=0

3x (x-1) (x+1) (x-2) + 9x²-9x-18-3x+21=>0

3x (x-1) (x+1) (x-2) + 9x²-12x+3>=0

x (x-1) (x+1) (x-2) + 3x²-4x+1>=0

Попробуем разложить 3x²-4x+1 на множители. Для этого найдем его корни

D=4²-4*3*1=16-12=4 √D=2

x₁ = (4-2) / (2*3) = 2/6=1/3

x₂ = (4+2) / 6=1

Значит, 3x²-4x+1=3 (x-1) (x-1/3) и тогда продолжаем

x (x-1) (x+1) (x-2) + 3 (x-1) (x-1/3) >=0

(x-1) [ (x (x+1) (x-2) + 3x-1) ]>=0

(x-1) (x (x²-2x+x-2) + 3x-1) >=0

(x-1) (x³-x²-2x+3x-1) >=0

(x-1) (x³-x²+x-1) >=0 Видно, что 1 является корнем кубического ур-я. Разложим вторую скобку на множители

(x³-x²+x-1) : (x-1) = x²+1 значит

(x-1) (x-1) (x²+1) >=0

(x-1) ² (x²+1) >=0

Полученное выражение будет верным на всей области определения

Ответ: (-∞; -1) U (-1; 2) U (2; ∞)