Найти количество таких натуральных n⩽50, что число (n-1) ! не делится на n^2. Здесь n! - произведение натуральных чисел от 1 до n.

Число 1 исключаем. - Рассмотрим это: (n-1) !/n²=n!/n³. Разложим в произведение-ряд. Посмотрим на простое число p: p!/p³=1*2*3 * ... p/p³. Т. к. в ряду 1*2*3 * ... * p нет еще 2 p, то при его делении на p³ получим дробное число. Простые числа: до 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 - 15 штук - их включаем. - Рассмотрим составные числа pq, где p>q>2. В разложении (pq) ! число p встретится больше или равно 3 раз, т. к. q>3, а q встретится более или равно p>>3 раз, значит (pq) ! делится на (pq) ^3. Это числа: 15, 21, 33, 39; 35 - их исключаем. - Рассмотрим составные числа p², где p - простое, в разложении (p^2) ! p должно встречаться не менее 6 раз. Для чисел p>5 - 49, 25 это выполняется - их исключаем. Числа 4, 9 - включаем. - Рассмотрим числа np, p - простое, n - больше 1 и не простое (кроме 2). Если n=2, то p мы не встретим в разложении (np) ! более 2 раз - числа: 6, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46 - включаем. Если же n не равно 2, то в разложении (np) ! встретим p более n>3 раз - их исключаем: 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50. Степени простых чисел, большие второй, рассматриваем отдельно: включаем 8, исключаем: 16, 27, 32. Включенных - искомых чисел - 26.