Найдите седьмое по счету неотрицательное число n такое, что число 20^ (n) + 16^ (n) - 3^ (n) - 1 делится на 323.

323 это 17*19

логично что если любое a кратно 17 и a кратно 19 то a кратно 323, потому что 17, 19 - просты числа

с этим надеюсь понятно

и еще вспомним то что если a кратно m и b кратно m, то и a+b кратно m

и с этим надеюсь все поняно

найдем при каких n 20^ (n) + 16^ (n) - 3^ (n) - 1 кратно 19 и 17 одновременно

разложим 20^ (n) + 16^ (n) - 3^ (n) - 1 двумя способами

сначала сгруппируем так

[ 20 ^ (n) - 1 ] + [ 16^ (n) - 3^ (n) ]

используя Ньютона-Бинома это легко раскладывается так

19[ 20^ (n-1) + 20^ (n-2) + ... + 20+1 ] + 13[ 16^ (n-1) + 16^ (n-2) * 3 + ... + 16*3^ (n-2) + 3^ (n-1) ]

заметим что [ 20^ (n) - 1 ] кратно 19 при любом n осталось посмотреть при каких n [ 16^ (n) - 3^ (n) ] кратно 19

13[ 16^ (n-1) + 16^ (n-2) * 3 + ... + 16*3^ (n-2) + 3^ (n-1) ]

ну 13 ничего не решает так что отбросим его

16^ (n-1) + 16^ (n-2) * 3 + ... + 16*3^ (n-2) + 3^ (n-1)

ну если все сгруппировать по 2 соседние, т. е.

16^ (n-1) c 16^ (n-2) * 3

ну и так далее

и там будет

16^ (в какой то стпени) (16+3)

или начиная с середины когда степень 3 будет больше степени 16

3^ (в какой то стпени) (16+3)

если n будет четно то все сгруппируется, а если n будет нечетное то в конце останется 3^ (n-1)

ну и если сделать то же самое но сгруппировать

[ 20^ (n) - 3^ (n) ] + [ 16^ (n) - 1 ]

то мы докажем тоже самое но только для 17

ну и получается

n=0; 2; 4; 6; 8 ...

n₇=12

323 = 17 * 19, поэтому число должно одновременно делиться на 17 и 19.

Заметим, что если раскрывать скобки в выражении (a + b) ^n, то получится (a^n + n a^ (n - 1) b + ...) + b^n - разложение по биному Ньютона, где каждое слагаемое в скобках делится на a. Значит, (a + b) ^n даёт такой же остаток при делении на a, что и b^n.

Используем это наблюдение. Представим выражение в виде (17 + 3) ^n + (17 - 1) ^n - 3^n - 1. По написанному выше это выражение даёт такой же остаток при делении на 17, что и 3^n + (-1) ^n - 3^n - 1 = (-1) ^n - 1. Для нечётных n последнее выражение равно - 2, для чётных - 0. Значит, выражение делится на 17 при чётных n и не делится при нечётных.

Тот же трюк с делимостью на 19: (19 - 1) ^n + (19 - 3) ^n - 3^n - 1 ≡ (-1) ^n + (-3) ^n - 3^n - 1. Нечётные n нас уже не интересуют, а при чётных n последнее выражение равно 0, так что исходное выражение делится на n.

Суммируем: выражение делится на 323 при чётных n (и только при таких n). Значит, подходят n = 0, 2, 4, ... Седьмое число в этом ряду равно 12.

Ответ. 12.