В классе 30 учеников. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Докажите что, по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть по 0 ошибок)

Т. к. Саша Иванов сделал 13 ошибок, то у остальных от 0 до 12 ошибок.

Рассмотрим вариант, когда остальными было сделано как можно больше различных ошибок. Пусть 13 учеников сделали различное количество ошибок от 0 до 13. Пусть другие 13 учеников тоже сделали разное число ошибок. Имеем 26 учеников, среди которых хотя 13 пар сделали по 2 ошибки.

27-м учеником пусть будет сам Саша Иванов. Остаются ещё трое учеников, которые сделают от 0 до 12 ошибок, и присоединятся к какой-нибудь из 13 пар. В итоге, хотя бы у трёх учеников окажется по одинаковому числу ошибок.