Числа 3 и - 4 являются корнями многочлена x^3+px+k. Найди его третий корень.

Подставим корни х = 3 и х=-4 в уравнение х³+рх+k = 0 для того, чтобы найти р и k.

Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными.

{3³+3p+k = 0

{ (-4) ³-4p+k = 0

Упростим:

{3p+k = - 27

{-4p+k = 64

Из первого уравнения вычтем второе и получим:

3p+k+4p-k = - 27 - 64

7p = - 81

p = - 81 : 7

p = - 13

Подставим р = - 13 в первое уравнение 3p+k = - 27 и получим:

3· (-13) + k = - 27

-39 + k = - 27

k = 39 - 27

k = 12

Теперь при p = - 13 и k = 12 наш многочлен примет вид: x³-13 x+12.

Этому уравнению x³-13x+12 = 0 удовлетворяют данные корни

х₁ = 3

х₂ = - 4

Проверим х=1 и х = - 1

При х = 1 получаем

1³-13·1+12=0

1+12-13=0

0 = 0 верное равенство, значит, х₃ = 1.

При х = - 1 получаем

(-1) ³-13· (-1) + 12=0

-1+13+12=0

24 ≠ 0, значит, х ≠ - 1

Ответ: х₃ = 1.