При некотором k уравнение f (x) = k (x+3) имеет ровно 3 корня

График функции, заданный уравнением f (x) = k (x+3) - есть прямая линия, которая может пересечь ось абсцисс не более одного раза. Значит, и корней уравнения не более одного.

Это неполное задание. Полностью оно звучит так:

Функция f (x) задается системой:

{ f (x) = x + 3; при x < 0

{ f (x) = (x - 1) (x - 3) ; при 0 < x < 5

{ f (x) = - x + 13; при x > 5

При некотором k уравнение f (x) = k (x + 3) имеет ровно 3 корня.

Решение. Прямая y = k (x + 3) проходит через точку (-3; 0).

При любом k она будет пересекать две прямых, при x 5.

При k = 1 она совпадает с прямой f (x) = x + 3, тогда уравнение имеет бесконечное количество корней.

Ровно 3 корня будет, если эта прямая проходит через вершину параболы.

M0 (2; - 1).

Уравнение прямой через 2 точки:

(x + 3) / (2 + 3) = (y - 0) / (-1 - 0)

(x + 3) / 5 = y / (-1)

y = - 1/5 * (x + 3)

k = - 1/5