Точки A и B расположены на координатных осях плоскости xOy. Какую наименьшую длину может иметь отрезок AB, если ему принадлежит точка M (1; 8) ?

Точка А (x₀; 0)

Точка B (0; y₀)

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂)

(x-x₁) / (x₂-x₁) = (y-y₁) / (y₂-y₁)

И точка M (1; 8) лежит на прямой АВ

(x₀-1) / (0-8) = (0-1) / (y₀-8)

(x₀-1) / 8 = - 1 / (y₀-8)

(x₀-1) (y₀-8) = 8

y₀-8 = 8 / (x₀-1)

y ₀ = 8 + 8 / (x₀-1) = (8x₀-8+8) / (x ₀-1)

y ₀ = 8x₀ / (x ₀-1)

расстояние

r = √ (x₀² + (8x₀ / (x₀-1)) ²)

Производная по x ₀ (пока без 0 пишем, и так громоздко)

d r/dx = 1 / (2√ (x² + (8x / (x-1)) ²)) * (2x + 2 * (8x / (x-1)) * (-8 / (x-1) ²))

Приравняем производную к нулю

1 / (2√ (x² + (8x / (x-1)) ²)) * (2x + 2 * (8x / (x-1)) * (-8 / (x-1) ²)) = 0

Знаменатель отбросим

2x + 2 * (8x / (x-1)) * (-8 / (x-1) ²) = 0

x (1 - 64 / (x-1) ³) = 0

x₁ = 0 - не подходит

64 / (x-1) ³ = 1

(x-1) ³ = 64

x-1 = 4

x₂ = 5 - а вот это желанный минимум расстояния

x ₀ = 5

y ₀ = 8x ₀ / (x ₀ - 1) = 40/4 = 10

И длина отрезка

r = √ (5²+10²) = √125 = 5√5