На доске записано несколько целых чисел. Коля заменил каждое число (стерев его) следующим образом: вместо четного числа он записал его половину, а вместо нечетного - удвоенное. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел и сумма исходных совпали, если сумма исходных чисел равнялась а) 2014 б) 2013?

А) не могло; б) могло. Указание. Обозначим через А начальную сумму четных чисел на доске, В - сумму нечетных чисел. Тогда должно выполняться равенство. Значит, сумма на доске должна быть равна А + В = 3 В=n. В случае а) при п = 2014 это приводит к противоречию с делимостью на 3. В случае б) при п = 2013 легко проверить такой пример: на доске записаны два числа а = 1342 и b = 671 = a/2.