На какое число делится без остатка выражение n^3+3n^2+2n при любом натуральном n?

на 6.

вынесим n (n^2+3n+2) =

n (n+1) (n-2), это последовательность трех чисел допустим 32,33,34, значит оно будет обязательно делится либо на 3 и 2=6 (подбираем: если N-четно, то n/2, n+1/3, n-2/2 = > число делится на 6)

Для начала разложим данный трехчлен на множители.

n3+3n2+2n=n (n2+3n+2)

В скобках получили стандартный квадратный трехчлен. Разложим его на множители, найдя его корни.

n2+3n+2=0

D=9-4*2=1

n1=-2

n2=-1

Таким образом получаем: n3+3n2+2n=n (n+2) (n+1)

Получили произведение трех последовательных чисел n, n+1, n+2.

Логично, что одно из них определенно делится на3.

Также хотя бы одно из этих чисел - четное, поэтому делится на 2.

Таким образом, данный в условии многочлен делится на 2, 3 и на 6 (как произведение делителей).