Доказать, что выражение х в квадрате - 10 х + 29 при любых значениях х принимает только положительные значения.

X²-10x+29 = (x²-10x+25) + 4 = (x-5) ²+4

Квадрат числа - число неотрицательное, сумма неотрицательного и положительного - положительна.

Выделим полный квадрат:

x² - 10x + 29 = x² - 10x + 25 + 4 = (x - 5) ² + 4

(x - 5) ² ≥ 0 при любых x, тогда (x - 5) ² + 4 > 0 при любых x, т. к. сумма неотрицательного числа и положительного будет принимать всегда положительные значения.