Решить неравенства

1) x ≥ (25/1-x) - 9

2) 5-x≥ 6/x

1) x ≥ (25/1-x) - 9

ОДЗ: х≠1

а) 1 - х > 0 х < 1

х (1 - х) ≥ 25 - 9 (1 - х)

х - х² - 25 + 9 - 9 х ≥ 0

- х² - 8 х - 16 ≥ 0

х² + 8 х + 16 ≤ 0

(х + 4) ² ≤ 0

неравенство (х + 4) ² ≤ 0 не имеет решений

б) 1 - х <0 х> 1

х (1 - х) ≤ 25 - 9 (1 - х)

х - х² - 25 + 9 - 9 х ≤ 0

- х² - 8 х - 16 ≤ 0

х² + 8 х + 16 ≤ 0

(х + 4) ² ≥ 0

неравенство (х + 4) ² ≥ 0 справедливо при любых х, т. е имеет решение х ∈ (-∞; + ∞)

Сопоставим х ∈ (-∞; + ∞) и х > 1 и ОДЗ: х≠1, получим

Ответ: х∈ (1; + ∞)

2) 5-x≥ 6/x

ОДЗ: х≠0

а) х > 0

х (5 - х) ≥ 6

5 х - х² - 6 ≥ 0

х² - 5 х + 6 ≤ 0

Найдём нули функции у = х² - 5 х + 6

х² - 5 х + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

х₁ = (5 - 1) : 2 = 2

х₂ = (5 + 1) : 2 = 3

поскольку график функции у = х² - 5 х + 6 - квадратная парабола веточками вверх, то неравенство х² - 5 х + 6 ≤ 0 имеет решение х∈[2; 3].

Сопоставим интервалы х > 0, х∈[2; 3] и ОДЗ: х≠0.

Их пересечением является интервал х∈[2; 3] - это и будет ответ.

б) х < 0

х (5 - х) ≤ 6

5 х - х² - 6 ≤ 0

х² - 5 х + 6 ≥ 0

решение уравнения х² - 5 х + 6 = 0 мы уже проводили, его корни

х₁ = 2 и х₂ = 3

поскольку график функции у = х² - 5 х + 6 - квадратная парабола веточками вверх, то неравенство х² - 5 х + 6 ≥ 0 имеет решение х∈ (-∞; 2]U[3; + ∞)

Сопоставим интервалы х < 0, х∈ (-∞; 2]U[3; + ∞) и ОДЗ: х≠0?,

их пересечением является интервал х∈ (-∞; 0)

Теперь объединим решения а) и б)

Ответ: х∈ (-∞; 0) U[2; 3]