Помогите решить неравенства: 1) 3/x-1<1-x

2) log (3 основание) (3x+1) <2

3) sgrt (x-3) / x-4<1

1) 3 / (x-1) < (1-x)

ОДЗ: х - 1 ≠ 0 ⇒ х ≠ 1

3 < - x² + 2 х - 1

-x² + 2 х - 1 - 3 > 0

-x² + 2 х - 4 > 0

Найдём нули функции у = - x² + 2 х - 4

-x² + 2 х - 4 = 0

D = 4 - 16 = - 12 (решений нет)

График функции у = - x² + 2 х - 4 - квадратная парабола веточками вниз. Поскольку она не пересекает ось х, то все значения этой функции отрицательны, и неравенство - x² + 2 х - 4 > 0 решений не имеет. Поэтому и исходное неравенство 3 / (x-1) < (1-x) решений не имеет.

2) log₃ (3x+1) < 2

log₃ (3x+1) < log₃9

ОДЗ: 3x+1 > 0 ⇒ 3x > - 1 ⇒ х > - 1/3

Поскольку основание логарифма 3 > 1, то между числами такое же соотношение, как и между логарифмами:

3x+1 < 9

3 х < 8

х < 8/3

Сопоставляя решение х < 8/3 с ОДЗ, делаем вывод, что решением неравенства

является интервал: х∈ (-1/3; 8/3)

3) √ (x-3) / (x-4) < 1

ОДЗ: а) х - 3 ≥ 0 ⇒ х ≥ 3 б) x - 4 ≠ 0 ⇒ х ≠ 4

таким образом ОДЗ: х∉ [3; 4) и (4; + ∞)

а) при х ∉ [3; 4) (x-4) <0, поэтому

√ (x-3) > (x-4)

x-3 > х² - 8 х + 16

х² - 9 х + 19 < 0

х² - 9 х + 19 = 0

D = 81 - 76 = 5

x₁ = (9 - √5) / 2 ≈ 3,38

x₂ = (9 + √5) / 2 = 5,62

Неравенство х² - 9 х + 19 < 0 верно при х∈ (3,38; 5,62)

Но поскольку мы рассматривали (x-4) <0, решением исходного неравенства √ (x-3) / (x-4) < 1 будет только область

х∉ [3; 3,38) или, точнее х∉ [3; (9 - √5) / 2)

б) при х ∉ (4; + ∞) (x-4) > 0, поэтому

√ (x-3) < (x-4)

x-3 < х² - 8 х + 16

х² - 9 х + 19 > 0

х² - 9 х + 19 = 0

D = 81 - 76 = 5

x₁ = (9 - √5) / 2 ≈ 3,38

x₂ = (9 + √5) / 2 = 5,62

Неравенство х² - 9 х + 19 > 0 верно при х∈ (-∞; 3,38) и (5,62; + ∞)

Но поскольку мы рассматривали (x-4) >0, решением исходного неравенства √ (x-3) / (x-4) < 1 будет только область

х∉ (5,62; + ∞) или, точнее х∈ ((9 + √5) / 2; + ∞)

Ответ: х∉ [3; (9 - √5) / 2) и ((9 + √5) / 2; + ∞)