Пусть x и y такие натуральные числа, что числа 7x+9y делится на 11. Доказать, что число 57x+78y делится на 11

Предположим, что это утверждение верно. Тогда система:

7 х+9 у = 11k

57x+78y = 11n, где k, n - натуральные числа,

должна иметь решение (х, у) в натуральных числах. Решим систему:

Из первого выразим у:

у = (11 к-7 х) / 9, подставим во второе:

57 х + 78 (11 к-7 х) / 9 = 11n

513x - 546x = 11 (9n-78k)

33x = 33 (26k - 3n)

x = 26k - 3n - натуральное число

Значит наше предположение верно и 57 х + 78 у - делится на 11.

57 * Х + 78 * Y = (35 * X + 45 * Y) + (22 * X + 33 * Y) = 5 * (7 * X + 9 * Y) +

11 * (2 * X + 3 * Y), следовательно, если 7 * X + 9 * Y делится на 11. то и

57 * Х + 78 * Y делится на 11