Известно, что 111111 ... 11 (n чисел) делится на 7. Доказать, что это число делится на 13.

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 - (2 * 4) = 28 делится на 7).

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7:

Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком "+" и чётных со знаком " - " делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком "+" (689), вторая со знаком "-" (255). Отсюда 689-255 = 434. В свою очередь 434 : 7 = 62).

Ещё один признак - берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее - сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую ...

Д ля 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток - 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 * 5) = 104 делится на 13).