Дана арифметическая прогрессия, в которой 100 чисел. Разность прогресси равна 60.

а) Может ли прогрессия быть 8 чисел, кратных 11?

б) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть в одной прогресси?

в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 11, может быть в одной прогресси?

Question

Алгебра

Арсентий

2 октября, 00:44

Дана арифметическая прогрессия, в которой 100 чисел. Разность прогресси равна 60.

а) Может ли прогрессия быть 8 чисел, кратных 11?

б) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть в одной прогресси?

в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 11, может быть в одной прогресси?

+2

Ответы (1)

Знаете ответ?

Желя · Answer 1

Среди 11 чисел, следующих подряд, кратно 11 в точности одно. Это следует из того, что у каждого следующего числа остаток изменяется на 60-55=5 (с учётом явления сброса). При этом получается такая циклически повторяющаяся последовательность остатков, если начать с нулевого: 0, 5, 10, 4, 9, 3, 8, 2, 7, 1, 6. В ней ровно по разу присутствуют все остатки, и понятно, что при другом начальном значении остатка состав чисел останется прежним.

Отсюда следует, что среди 99 чисел прогрессии будет ровно девять кратных 11. Если первое из чисел кратно 11, то среди 100 будет всего десять чисел, которые кратны 11. То есть наименьшее число равно 9, наибольшее равно 10, а ровно 8 быть не может.