Исследовать функцию y=x^4-2*x^2+10, найти ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке (-1/2, 2)

y=x^4-2*x^2+10

1. D (y) = R

2. y' (x) = (x^4-2*x^2+10) '=4x^3-4x

3. y' (x) = 0 при 4x^3-4x=0

4x (x^2-1) = 0

4x (x-1) (x+1) = 0

x=0 или x=1 или x=-1

х=0 принадлежит [-1/2; 2]

x=1 принадлежит [-1/2; 2]

x=-1 не принадлежит [-1/2; 2]

4. y (0) = 10

y (1) = 1-2+10=9-наименьшее

у (-1/2) = (-1/2) ^4 - (-1/2) ^2+10=9 13/16

y (2) = 2^4-2^2+10=16-4+10=22 - наибольшее

Функция - четная, знакоположительная, определена на всей числовой оси.

Производная уштрих = 4 хкуб - 4 х = 0

Или х (х-1) (х+1) = 0. х=-1; 0; 1 - критические точки ф-ии.

у возрастает при х прин [-1; 0]v[1; беск)

у убывает при х прин (- беск; -1]v[0; 1].

х = - 1; 1 - точки минимума. уmin = 9;

х = 0 - точка максимума. уmax = 10;

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на указанном отрезке [-1/2; 2], проверим значения:

у (-1/2) = 153/16;

у (0) = 10;

у (1) = 9;

у (2) = 18.

Таким образом:

у наиб = 18, при х = 2;

у наим = 9, при х = 1.