Четыре положительных числа a, b, c, d удовлетворяют равенствам a + b = c + d и a3 + b3 = c3 + d3. Докажите, что a2 + b2 = c2 + d2.

A + b = c + d

a^3 + b^3 = c^3 + d^3

Разложим сумму кубов слева и справа

(a + b) (a^2 - ab + b^2) = (c + d) (c^2 - cd + d^2)

Известно, что a + b = c + d, разделим на них

a^2 - ab + b^2 = c^2 - cd + d^2

Выделим полные квадраты

a^2 + 2ab + b^2 - 3ab = c^2 + 2cd + d^2 - 3cd

(a + b) ^2 - 3ab = (c + d) ^2 - 3cd

Опять-таки, a + b = c + d, значит, (a + b) ^2 = (c + d) ^2, вычтем их

-3ab = - 3cd

ab = cd

Вернемся к равенству:

a^2 - ab + b^2 = c^2 - cd + d^2

Если ab = cd, то прибавим их

a^2 + b^2 = c^2 + d^2

Что и требовалось доказать