Натуральные числа m и n такие, что НСК (m; n) + НОД (m; n) = m + n. Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.

Question

Алгебра

Элюня

2 декабря, 00:14

Натуральные числа m и n такие, что НСК (m; n) + НОД (m; n) = m + n. Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.

+2

Ответы (1)

Знаете ответ?

Диодора · Answer 1

Обозначим d=НОД (m, n). Тогда m=da, n=db и НОК (m, n) = dab при некоторых целых a, b.

Значит dab+d=da+db, откуда ab+1=a+b, т. е. (a-1) (b-1) = 0, т. е. либо а=1 либо b=1. Если a=1, то m=d, и значит n=mb. Т. е. n делится на m. Аналогично, если b=1, то m делится на n.