Пусть n - натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8+1, либо n8-1 делится на 17.

Пусть число n=17m+k k<17 (остаток)

n^8 = (17m+k) ^8

Очевидно что все степени бинома помножены на 17m (то делятся на 17) кроме последнего которое равно k^8 тогда остаток от деления

n^8 на 17 равен остатку k^8 на 17 причем k<17 таким образом достаточно

Достаточно проанализировать остатки от деления

1^8 2^8 ... 16^8 (всего 16 примеров) Можно заметить что попадались только остатки

+-1 а значит любое число не делящееся на 17 в восьмой степени при делении на 17 дает остатки + - 1 тогда либо n^8-1 либо n^8+1 делится на 17