Пусть числа x и y не делятся на 3. Доказать, что число а делится на 3, если a=x^4+y^4+1

Х не делится на 3, значит дает в остатке либо 1 либо 2

х=3k+1 или х = 3k+2

y не делится на 3, значит дает в остатке либо 1 либо 2

y = 3n + 1 или y = 3n+2

тогда

а = (3k+1) ⁴ + (3n+1) ⁴+1 = (3k) ⁴+4 (3k) ³+6 (3k) ³+4 (3k) + 1 + (3n) ⁴+4 (3n) ³+6 (3n) ³+4 (3n) + 1+1

Каждое слагаемое, которое содержит 3k или 3n кратно 3,

1+1+1=3 тоже делится на 3

или

а = (3k+2) ⁴ + (3n+2) ⁴+1 = (3k) ⁴+4 (3k) ³·2+6 (3k) ³·2²+4 (3k) ·2³+16 + (3n) ⁴+4 (3n) ³·2+6 (3n) ³·2²+4 (3n) ·2³+16+1

Каждое слагаемое, которое содержит 3k или 3n кратно 3,

16+16+1=33 тоже делится на 3

или

а = (3k+1) ⁴ + (3n+2) ⁴+1 = (3k) ⁴+4 (3k) ³+6 (3k) ³+4 (3k) + 1 + (3n) ⁴+4 (3n) ³·2+6 (3n) ³·2²+4 (3n) ·2³+16+1

Каждое слагаемое, которое содержит 3k или 3n кратно 3,

1+16+1=18 тоже делится на 3

или

а = (3k+2) ⁴ + (3n+1) ⁴+1 = (3k) ⁴+4 (3k) ³·2+6 (3k) ³·2²+4 (3k) ·2³+16 + (3n) ⁴+4 (3n) ³+6 (3n) ³+4 (3n) + 1+1

Каждое слагаемое, которое содержит 3k или 3n кратно 3,

16+1+1=3 и тоже делится на 3