Исследуйте функцию и постройте её график: f (x) = - 0,5x^2+2x+6

Функция f (x) = - 0,5x^2+2x+6 - это парабола ветвями вниз (коэффициент при х² - отрицателен). Вершина её находится в точке с координатами: (-b/2a; c - (b²/4a)). Коэффициенты заданной параболы: а=-0,5; в=2: с=6.

Получаем: (-2/2 * (-0,5) = 2 - это координата х₀,

(6 - (2²/4 * (-0,5) = 6-4/-2=6+2=8 - это координата у₀.

Точка пересечения графика функции с осью координат Y: График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в - 0.5*x^2+2*x+6.

Результат: y=6. Точка: (0, 6) Точки пересечения графика функции с осью координат X: График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:-0.5*x^2+2*x+6 = 0 Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:

x=-2. точка: (-2., 0) x=6 ... Точка: (6, 0) Экстремумы функции: Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-1.0*x + 2=0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=2 ... Точка: (2, 8.) Интервалы возрастания и убывания функции: Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нетуМаксимумы функции в точках: 2.0 Возрастает на промежутках: (-oo, 2.0]Убывает на промежутках: [2.0, oo) Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,

+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=-1.=0

Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы: Нет перегиба. Вертикальные асимптоты Нету Горизонтальные асимптоты графика функции: Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим lim - 0.5*x^2+2*x+6, x->+oo = - oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim - 0.5*x^2+2*x+6, x->-oo = - oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существует Наклонные асимптоты графика функции: Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:lim - 0.5*x^2+2*x+6/x, x->+oo = - inf, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim - 0.5*x^2+2*x+6/x, x->-oo = + inf, значит наклонной асимптоты слева не существует Четность и нечетность функции: Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f (x) = f (-x) и f (x) = - f (x). Итак, проверяем:-0.5*x^2+2*x+6 = - 0.5*x^2 - 2*x + 6 - Нет-0.5*x^2+2*x+6 = - (-0.5*x^2 - 2*x + 6) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной