Исследовать функцию на мотанонность и экстремум: y = x^2 / 6x+18

Всегда положительная

Область определения функции. ОДЗ: Точки, в которых функция точно неопределена: x=-3

Точка пересечения графика функции с осью координат Y: График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x^2 / (6*x+18).

Результат: y=0. Точка: (0, 0) Точки пересечения графика функции с осью координат X: График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:x^2 / (6*x+18) = 0. Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:

x=0. Точка: (0, 0) Экстремумы функции: Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-6*x^2 / (6*x + 18) ^2 + 2*x / (6*x + 8) = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=-6. Точка: (-6, - 2) x=0. Точка: (0, 0) Интервалы возрастания и убывания функции: Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: 0 Максимумы функции в точках:-6 Возрастает на промежутках: (-oo, - 6] U [0, oo) Убывает на промежутках: [-6, 0] Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,

+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=72*x^2 / (6*x + 18) ^3 - 24*x / (6*x + 18) ^2 + 2 / (6*x + 18) = 0lim y'' при x->+-3

lim y'' при x->--3

(если эти пределы не равны, то точка x=-3 - точка перегиба)

Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=-3. Точка: (-3, oo) Интервалы выпуклости, вогнутости: Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов: Вогнутая на промежутках: [-3, oo) Выпуклая на промежутках: (-oo, - 3] Вертикальные асимптотыЕсть: x=-3 Горизонтальные асимптоты графика функции: Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим : lim x^2 / (6*x+18), x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim x^2 / (6*x+18), x->-oo = - oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существует Наклонные асимптоты графика функции: Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы : lim x^2 / (6*x+18) / x, x->+oo = 1/6, значит уравнение наклонной асимптоты справа: y=1/6*xlim x^2 / (6*x+18) / x, x->-oo = 1/6, значит уравнение наклонной асимптоты слева: y=1/6*x Четность и нечетность функции: Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f (x) = f (-x) и f (x) = - f (x). Итак, проверяем:x^2 / (6*x+18) = x^2 / (-6*x + 18) - Нетx^2 / (6*x+18) = - (x^2 / (-6*x + 18)) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной