Почему синичку автор назвал синькой

В слове синичка корень син

как в слове синий

В голосе синицы слышен звук "зинь-зинь". Именно поэтому в некоторых говорах её называют зинькой. А "синица" - это вторичное преобразование слова. Не все же слышат это синичкино "зинь-зинь". Так "зинька" сначала превратилась в "синьку", а затем (с прибавлением суффикса - иц-) - в "синицу".