Разобрать по членам предложения. И быда у него собака. Верой и правдой служила она ему много лет.

И была у него собака.

(кто?) собака (подлеж.) (что делала?) была (сказуемое)

была (у кого?) у него - дополнение

Верой и правдой служила она ему много лет.

(кто?) она (подлеж.) что делала? служила (сказуемое)

служила (кому?) ему - дополнение

служила (чем?) верой и правдой - дополнение

служила (сколько?) много лет - наречие

Была - сказуемое, у него - дополнение, собака - подлежащее. Верой и правдой - дополнение, служила - сказуемое, она - подлежащее, ему-дополнение, много-наречие т. е. обстоятельство, лет - дополнение.