Существует некая полулегенда что эти кошки жили во дворцах персидских шахов.

сделать синтаксический разбор.

Существует некая полулегенда, что эти кошки жили во дворцах персидских шахов. (Повествовательное, невосклицательное, сложное).

1-я грамматическая основа - существует полулегенда

2-я - кошки жили

полулегенда (какая?) некая - определение

кошки (кого?) шахов - дополнение

шахов (каких?) персидских - определение

кошки (какие?) эти - определение

жили (в чём?) во дворцах - дополнение

схемка будет такая: квадратная скобка, сказуемое, подлежащее, скобка закрылась, потом запятая, затем слово что, вторая квадратная скобка, подлежащее, сказуемое, скобка закрылась.