Соченение на тему "Скалярное произведение в координатах"

"Скалярное произведение в координатах"

как найти скалярное произведение векторов через их координаты, и рассмотрим свойства скалярного произведения.

Вначале сформулируем и докажем формулу для выражения скалярного произведения через координаты для неколлинеарных векторов. Далее рассмотрим скалярное произведение в координатах для коллинеарных векторов - сонаправленных и противоположно направленных. Рассмотрим следствия из полученной формулы в координатах о перпендикулярных векторах и о косинусе угла между ненулевыми векторами. Сформулируем и докажем свойства скалярного произведения: переместительный, распределительный и сочетательный законы и неотрицательность скалярного квадрата. (общее определение) А что такое скалярное произведение? Скалярное произведение в координатах - это координаты вектора, свойства скалярного произведения. Вот один вектор, второй вектор. Этот вектор имеет свои координаты, второй вектор имеет свои координаты. Вектор =. Его координаты мы умеем вычислять: = {x2-x1; y2-y1}. После этих замечаний приступим к доказательству. Если один из векторов нулевой, то теорема очевидна.

1) Действительно, если = 0, т. е. нулевому вектору, то (х1=у1=0) или

=0 (х2=у2=0)

Теперь предположим, что

2) и - ненулевые векторы и используем теорему косинусов для стороны АВ2=ОА2+ОВ2-2 ОА. ОВ. cosa

Вот она выписана, поясним ее. Треугольник ОАВ. Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (здесь нет векторов) Это длины сторон, но используем свойство АВ2. Это есть

Что такое ОА2? Это

Что такое ОВ2? Это

А что такое ОА. ОВ. cosa? Это скалярное произведение векторов. Отсюда мы получаем скалярное произведение векторов в таком виде. В полученной формуле перейдем к координатам. Здесь модуль трех векторов в квадрате. Мы знаем соответствующую формулу: модуль вектора в квадрате - сумма квадратов его координат.

Вот для первого вектора = х12+у12, здесь для второго вектора = х22+у22, и здесь для третьего вектора. Действительно координаты каждого из трех векторов здесь нам известны, подставили, раскрыли скобки, привели подобные члены и получили, что Окончательно скалярное произведение = х1 х2+у1 у2 ... и еще много таких премеров.