Какие функция выполняет мэр города, что входит в его обязонности?

Мэр - это глава администрации, глава исполнительной власти населенного пункта (города, в данном случае)

Можно рассмотреть полномочия мэра, скажем, Москвы:

1) представляет город в отношениях с федеральными органами государственной власти, органами государственной власти других субъектов Российской Федерации, органами местного самоуправления или поручает представление города иным лицам, представляет город на официальных протокольных мероприятиях, выполняет другие представительские функции;

2) выступает от имени города в рамках компетенции, установленной Уставом города, в случаях и в порядке, установленных федеральным законодательством, законами города поручает выступать от имени города органам исполнительной власти города, должностным лицам, органам местного самоуправления, а также юридическим лицам и гражданам;

3) подписывает и обнародует принятые городской думой законы города либо отклоняет их.

4) формирует правительство и принимает решение о его отставке; определяет структуру исполнительных органов власти города.

Это некоторые полномочия мэра города.