Пять целых чисел записаны по окружности так, что сумма никаких двух или трех подряд чисел не делится на 3. Сколько чисел среди этих пяти делятся на 3?

Рассмотрим остатки от деления записанных чисел на 3.

Могут ли три из них быть равными 0? Нет, т. к. в таком случае 2 числа стояли бы рядом, и их сумма делилась бы на 3.

Что если два из остатков равняться 0? Да, но в таком случае между ними должен стоять некоторый нулевой остаток, скажем, 1. Пусть числа А и С делятся на 3, а В даёт остаток 1. Тогда остатки E и D должны равняться только единицам, иначе три рядом стоящих числа разделятся на 3. Получаем удовлетворяющее условию расположение.

Может ли только один из остатков равняться 0? Пусть А даёт остаток 0. Тогда у В и Е должны быть одинаковые ненулевые остатки, иначе или сумма одной из пар, или всех трёх чисел разделится на 3. Допустим, они равны 1.

Следовательно, ни один из остатков С и D не равен 2. Также они не могут одновременно равняться 1. Значит, один из них равен 0, а другой - 1. Но этот случай с двумя числами, делящимися на 2, мы уже рассмотрели.

Может ли ни одно число не делиться на 3? Нет, т. к. в таком случае найдётся три подряд стоящих одинаковых остатка, в сумме дающих делящееся на 3 число.

Следовательно, ровно 2 числа из пяти должны делиться на 3.