3^ (2n+1) + 2*4^n доказать, что при любых n принадлежащих N, кратно 5

Док-во с помощью ММИ.

1) проверим для n = 1:

3^ (2+1) + 2*4^1 = 35 - кратно 5

2) предположим, что для n = k (k > 1) утверждение верно:

А = 3^ (2k+1) + 2*4^k кратно 5

3) докажем, что оно также верно и для n = k+1:

3^ (2 (k+1) + 1) + 2*4^ (k+1) =

= 3^ (2k+2+1) + 2*4^k * 4^1 =

= 3^2 * 3^ (2k+1) + 8*4^k = 9 * 3^ (2k+1) + 8*4^k = / выделим из этой суммы выражение А (из пункта 2) / =

= (4 * 3^ (2k+1) + 8*4^k) + 5 * 3^ (2k+1) =

= 4 А + 5 * 3^ (2k+1).

Имеем: первое слагаемое кратно 5 (см пункт 2) ; второе слагаемое кратно 5, так как имеет множитель 5. Следовательно, вся сумма кратна 5 = > утверждение тоже верно = > изначальное выражение кратно 5 при любых n из N, чтд.