При каком наименьшем n>1 можно расставить все натуральные числа от 1 до n по кругу так, чтобы любые два соседних числа имели в своей записи одинаковую цифру

Любое однозначное число должно иметь двух соседей c этой же цифрой и среди других однозначных чисел таких соседей, очевидно, нет, т. е. на круге есть двузначные числа. Значит на круге есть и число 9 и его минимально возможные соседи 19 и 29, откуда n≥29.

Для n=29 требуемое расположение существует (удобнее смотреть по тройкам) :

(19, 9, 29), (28, 8, 18), (17, 7, 27), (26, 6, 16), (15, 5, 25), (24, 4, 14), (13, 3, 23), (22, 2, 12), (11, 1, 21), (20, 10), т. е. ответ: n=29.