Найдите наибольшее значение функции y = (3x^2 + 243) / x на отрезке [1; 8]

Дана функция у = (3 х² + 243) / х.

Производная её равна y' = (3x² - 243) / x².

Приравняем её нулю (достаточно числитель при знаменателе х ≠ 0).

3x² - 243 = 0,

3 (x² - 81) = 0,

х = 9 и х = - 9. Это 2 критические точки.

Получили 4 промежутка монотонности функции: (при х = 0 разрыв функции) : (-∞; - 9), (-9; 0), (0; 9) и (9; + ∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = - 10 - 9 - 5 0 3 9 10

y' = 0,57 0 - 6,72 - - 24 0 0,57.

Как видим, в точке х = - 9 максимум, у = - 54.

В точке х = 9 минимум, у = 54.

Н а отрезке [1; 8] максимум в точке х = 1 у = (3*1 ² + 243) / 1 = 246.

Минимум соответствует локальному минимуму функции х = 9, у = 54.