В квадрат, сторона которого равна а, вписана круг, в этот круг вписана квадрат, в полученный квадрат вписана круг и т. д. Найдите сумму периметров квадратов и площадей квадратов

Площадь квадрата можно найти так: S = d²/2, где d - диагональ.

Т. к d (кв.) = d (окр.), а окружность вписана в первый квадрат, то d = a;

Соответственно, S = a²/2 (второго квадрата), третьего квадрата - a²/4 и т. д.

∑ = a² + a²/2 + a²/4 + a²/8 + ... = 2a²; - сумма площадей

Найдем сумму периметров. P = 4a; Каждый последующий квадрат имеет в два раза меньшую сторону. ∑ = 4a + 4√2/2 + 4√4/4 + 4√8/8 + ...

Найдем сумму бесконечно убывающей геометр. прогрессии: Sn = b₁ / (1-q)

b₁ = a;

q = 1/√2

Sn = a / (1-1/√2) ;

Sn = a (2+√2) - сумма периметров.